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Secuencia de variables aleatorias
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Teorema del límite central de la varianza
Sea X una variable aleatoria de valor real, y sea una secuencia infinita de copias independientes e idénticamente distribuidas de X. Sean las medias empíricas de esta secuencia. Un teorema fundamental en la teoría de la probabilidad es la ley de los grandes números, que se presenta en forma débil y fuerte:
[Los conceptos de convergencia en probabilidad y convergencia casi segura en teoría de la probabilidad son especializaciones de los conceptos de convergencia en medida y convergencia puntual en casi todas partes en teoría de la medida].
(Si se refuerza la suposición del primer momento a la de finitud del segundo momento, entonces tenemos, por supuesto, un enunciado más preciso que la ley (débil) de los grandes números, a saber, el teorema del límite central, pero no discutiré ese teorema aquí. Con aún más hipótesis sobre X, uno tiene igualmente versiones más precisas de la ley fuerte de los grandes números, como la desigualdad de Chernoff, que tampoco discutiré aquí).
La ley débil es fácil de demostrar, pero la ley fuerte (que, por supuesto, implica la ley débil, por el teorema de Egoroff) es más sutil, y de hecho la demostración de esta ley (suponiendo sólo la finitud del primer momento) suele aparecer sólo en textos de postgrado avanzados. Así que he pensado en presentar aquí una demostración de ambas leyes, que procede mediante las técnicas estándar del método de los momentos y el truncamiento. En esta exposición se hará hincapié en la motivación y los métodos más que en la brevedad y la solidez de los resultados; existen pruebas de la ley fuerte en la literatura que se han comprimido hasta el tamaño de una página o menos, pero este no es mi objetivo aquí.
Teorema del límite central
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Una ilustración de la ley de los grandes números utilizando una tirada particular de un solo dado. A medida que aumenta el número de tiradas de esta serie, la media de los valores de todos los resultados se aproxima a 3,5. Aunque cada tirada mostraría una forma distintiva sobre un pequeño número de lanzamientos (a la izquierda), sobre un gran número de tiradas (a la derecha) las formas serían extremadamente similares.
En teoría de la probabilidad, la ley de los grandes números (LLN) es un teorema que describe el resultado de realizar el mismo experimento un gran número de veces. Según esta ley, la media de los resultados obtenidos de un gran número de ensayos debería acercarse al valor esperado y tiende a acercarse al valor esperado a medida que se realizan más ensayos[1].
La fuerte ley de los números pequeños
ResumenEn la siguiente nota presentamos una prueba para la ley fuerte de los números grandes que no sólo es elemental, en el sentido de que no utiliza la desigualdad de Kolmogorov, sino que también es más aplicable porque sólo requerimos que las variables aleatorias sean independientes entre sí. También se discute una extensión a matrices separables de vectores aleatorios en el espacio de Banach. Para la ley débil de los grandes números relativa a las variables aleatorias independientes por pares, que se deduce de nuestro resultado, véase el teorema 5.2.2 de Chung [1].
Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw Gebiete 55, 119-122 (1981). https://doi.org/10.1007/BF01013465Download citationShare this articleAnyone you share the following link with will be able to read this content:Get shareable linkSorry, a shareable link is not currently available for this article.Copy to clipboard
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