Producto de potencias de distinta base

Matemáticas de las leyes de la potencia

Gráficas de y = bx para varias bases b: base 10, base e, base 2, base 1/2. Cada curva pasa por el punto (0, 1) porque cualquier número distinto de cero elevado a la potencia de 0 es 1. En x = 1, el valor de y es igual a la base porque cualquier número elevado a la potencia de 1 es el propio número.

La exponenciación es una operación matemática, escrita como bn, en la que intervienen dos números, la base b y el exponente o potencia n, y que se pronuncia como “b elevado a la potencia de n”.[1] Cuando n es un número entero positivo, la exponenciación corresponde a la multiplicación repetida de la base: es decir, bn es el producto de multiplicar n bases:[1]

El exponente suele aparecer como un superíndice a la derecha de la base. En ese caso, bn se llama “b elevado a la enésima potencia”, “b elevado a la potencia de n”, “la enésima potencia de b”, “b a la enésima potencia”,[2] o más brevemente como “b a la enésima”.

Se tiene b1 = b, y, para cualesquiera enteros positivos m y n, se tiene bn ⋅ bm = bn+m. Para extender esta propiedad a exponentes enteros no positivos, se define b0 como 1, y b-n (con n un entero positivo y b no cero) como 1/bn. En particular, b-1 es igual a 1/b, el recíproco de b.

Multiplicación de exponentes

Cuando se multiplican dos expresiones con exponentes, se denomina multiplicación de exponentes. La multiplicación de exponentes implica ciertas reglas que dependen de la base y la potencia. A veces a los alumnos les resulta difícil de entender debido a las diferentes bases, los exponentes negativos y los exponentes no enteros. Aprendamos más sobre la multiplicación de exponentes en este artículo.

Antes de explorar el concepto de multiplicación de exponentes, recordemos el significado de los exponentes. Un exponente puede definirse como el número de veces que una cantidad se multiplica por sí misma. Por ejemplo, cuando 2 se multiplica tres veces por sí mismo, se expresa como 2 × 2 × 2 = 23. Aquí, 2 es la base y 3 es la potencia o exponente. Se lee como “2 elevado a la potencia de 3”.

Ahora hablemos de lo que significa multiplicar exponentes. Cuando se multiplican dos expresiones cualquiera con exponentes, se llama multiplicar exponentes. Repasemos los diferentes casos con la ayuda de ejemplos para entender mejor el concepto.

Consideremos dos expresiones con una base diferente y la misma potencia an y bn. En este caso, las bases son a y b y la potencia es n. Al multiplicar exponentes con bases diferentes y potencias iguales, se multiplican primero las bases. Se puede escribir matemáticamente como an × bn = (a × b)n.

Simplificación de potencias

Los exponentes son la abreviatura de la multiplicación repetida de una misma cosa por sí misma. Por ejemplo, la abreviatura para multiplicar tres copias del número 5 se muestra a la derecha del signo “igual” en (5)(5)(5) = 53. El “exponente”, que en este ejemplo es 3, representa el número de veces que se multiplica el valor. Lo que se multiplica, que en este ejemplo es 5, se llama “base”.

Hay dos potencias especialmente denominadas: “a la segunda potencia” se pronuncia generalmente como “al cuadrado”, y “a la tercera potencia” se pronuncia generalmente como “al cubo”. Así, “53” se pronuncia comúnmente como “cinco al cubo”.

Para simplificar esto, puedo pensar en lo que significan esos exponentes. “A la tercera” significa “multiplicar tres copias” y “a la cuarta” significa “multiplicar cuatro copias”. Usando este hecho, puedo “expandir” los dos factores, y luego trabajar hacia atrás hasta la forma simplificada. Primero, expando:

Todo lo que no tiene potencia en él, en un sentido técnico, es “elevado a la potencia 1”. Cualquier cosa a la potencia 1 es simplemente ella misma, ya que está “multiplicando una copia” de sí misma. Así que la expresión anterior se puede reescribir como:

División de exponentes

home / álgebra / exponente / reglas de los exponentesReglas de los exponentesHay muchas propiedades y reglas de los exponentes que se pueden utilizar para simplificar ecuaciones algebraicas. A continuación se presentan algunas de las más utilizadas. Ten en cuenta que los términos “exponente” y “potencia” se utilizan a menudo indistintamente para referirse a los superíndices de una expresión. Por ejemplo, en el término Qbn, Q es el coeficiente, b es la base y n es el exponente o la potencia, como se muestra en la siguiente figura.

Para sumar o restar términos que contienen exponentes, los términos deben tener la misma base y la misma potencia. De lo contrario, los términos no se pueden sumar. Si la base y la potencia son iguales, entonces se pueden sumar o restar los coeficientes de las bases, manteniendo la base y la potencia iguales. Dado que P y Q son coeficientes constantes, esto se puede expresar como:

Para multiplicar términos que contienen exponentes, los términos deben tener la misma base y/o la misma potencia. Para multiplicar términos con la misma base, se mantiene la misma base y se suman las potencias. Para multiplicar términos con bases diferentes pero con la misma potencia, se eleva el producto de las bases a la potencia. Esto se puede expresar como: